Wahrscheinlichkeit, Erwartungswert, Standardabweichung

[Optimierer]

Liebe Forumteilnehmer,

Roulette ist ein einfaches Spiel.

Man braucht nicht unbedingt Mathematik dazu... es soll ja Spass machen .

Es reicht im Grunde, wenn man weiß, wieviele Plastikstücke man jeweils auf den Tisch legt und was ihr Gegenwert in Geld ist.

Aber schon dafür sollte man wenigstens ein bisschen rechnen oder zumindet zählen können... sonst kann's schnell unerwartet teuer werden. Verlieren macht ja nicht wirklich Spass.

Obwohl man auch mit Hilfe der Mathematik kein perfektes Gewinnsystem erfinden kann (das ist mathematisch bewiesen), so ist sie doch bisweilen ganz nützlich, um die Chancen wenigstens einigermaßen richtig abzuschätzen, wenn man sich z.B. ein Spielsystem bzw. eine Strategie zuerecht legt, nach der man setzen will. Mit etwas Mathematik erkennt man im Vorfeld viel schneller, ob das wenigstens ungefähr hinhauen kann oder ob man total daneben liegt.

Aber Mathematik ist nicht jedermanns Sache. Verständlicherwese ist sie vielen ist sie einfach zu abstrakt und zu formellastig .

Manche kommen so leidlich damit zurecht, andere bekommen schon die Krise, wenn sie nur eine Formel sehen .

Besonders für solche Mathe-Muffel, die aber doch gerne wüssten wie's geht, sollen hier die wichtigsten Begriffe, die man für Roulette so brauchen kann, möglichst einfach und anhand von Beispielen erklärt werden.

Es sind dies

• die Wahrscheinlichkeit (dafür, dass eine Chance erscheint)
  
• die Gegenwahrscheinichkeit (dafür, dass eine Chance nicht erscheint)
  
• der Erwartungswert (wieviele Ercheinungen in soundsovielen Coups im Mittel zu erwarten sind)
  
• die (Standard-)Abweichung (vom Erwatungswert, d.h. vieviele Erscheinungen mehr oder weniger als erwartet normalerweise aufteten)
  

Ganz ohne Formeln kommen wir zwar nicht aus, aber ich werde sie aber möglichst leicht verständlich erklären.

Nur Mut, es ist nicht wirklich kompliziert...

Optimierer

bearbeitet August 5, 2010 von Optimierer

[Optimierer]

Wahrscheinlichkeit

Die Wahrscheinlichkeit ist immer eine Zahl zwischen 0 und 1, einschließlich der äußeren Grenzen 0 und 1. Also genau Null oder Null Komma irgendwas oder genau Eins.

0 bedeutet unmöglich (0% aller Fälle, d.h. es passiert nie) und 1 bedeuet sicher (100% aller Fälle, d.h. es passiert immer). Alles andere liegt eben dazwischen.

Zum Ausrechnen teilt man einfach die Anzahl der günstigen Möglichkeiten für die Chance durch die Gesamtzahl an Möglichkeiten.

Beispiel für das Erscheinen des ersten Dutzends:

Es gibt 12 günstige Möglichkeiten – weil 12 Zahlen im Dutzend – von 37 insgesamt.

Berechnung also: 12 geteilt durch 37 bzw. 12/37 (sprich: zwölf siebenunddreißigstel).

Das ergibt 0,324 als W'keit dafür, dass das erste Dutzend erscheint; zum Glück gibt's ja Taschenrechner .

Will man die W'keit in Prozent angeben, dann muss man nur noch das Komma um zwei Stellen nach rechts verschieben: 0,324 (von 1) entspricht 32,4% (von 100%).

Für so eine W'keit schreibt man üblicherweise den Buchstaben p (für engl. probability = Wahrscheinlichkeit).

Unser Dutzend erscheint also mit der W'keit p=0,324 (sprich: p ist 0,324) oder 32,4% nach der Kommaverschiebung für die Prozente.

Für eine EC z.B. gilt dann p=18/37 (sprich: W'keit ist 18 geteilt durch 37, weil eine EC eben 18 Zahlen hat von allen 37, ist klar), und das ergibt 0.486 oder halt 48,6%.

Die allgemeine Rechenvorschrift heißt Laplace-Formel (nach dem frz. Mathematiker Laplace), sie lautet also:

p = Anzahl der günstigen Möglichkeiten / Anzahl aller Möglichkeiten

Nach diesem Muster kann man für jede denkbare Chance die W'keit ausrechnen .

bearbeitet August 5, 2010 von Optimierer

[Optimierer]

Gegenwahrscheinlichkeit

Die Gegenwahrscheinlichkeit ist die W'keit, dass eine Chance nicht erscheint.

Das ist einfach der Rest zwischen der W'keit und 1.

Zum Ausrechnen zieht man nur die W'keit für's Erscheinen der Cance von 1 ab, oder wenn es Prozente sind, eben von 100%.

Die allgemeine Rechenvorschrift ist also 1 - p (sprich: eins minus p, auch bekannt als "eins weniger p", also 1 minus die W'keit).

Beispiel für das Nichterscheinen des ersten Dutzends:

1 - 0,324 = 0,676 (bzw. 67,6%), oder direkt in Prozent: 100% - 32,4% = 67,6%.

Für so eine Gegenw'keit schreibt man üblicherweise den Buchstaben q (weil in Mathe gerne aufeinanderfolgende Buchstaben für ähnliche Sachen verwendet werden).

Unser Dutzend erscheint also mit der Gegenw'keit q=1- 0,324 nicht, was eben 0,676 ergibt bzw. 67,6% nach der Kommaverschiebung für die Prozente.

Man kann das auch als W'keit für die beiden anderen Dutzende mitsamt Zero auffassen: Die W'keit dafür ist ja, wie oben gezeigt, 25/37 = 0,676 (denn die beiden anderen Dz haben zusammen 24 günstige Möglichkeiten und noch eine für Zero macht 25, von insgesamt 37).

Nach diesem Muster kann man für für jede denkbare Chance auch die Gegenw'keit ausrechnen .

bearbeitet August 4, 2010 von Optimierer

[Optimierer]

Erwartungswert

Der Erwartungswert ist die Anzahl Erscheinungen einer Chance, die sich (in der Regel) bei oftmaligem Werfen der Kugel als Mittelwert ergibt.

Zum Ausrechnen nimmt man einfach die Anzahl aller Würfe (Coups) mal die W'keit der Chance.

Beispiel für das erste Dutzend in 100 Coups:

100 * 0,324 = 32,4 Erscheinungen sind in 100 Coups zu erwarten (d.h. natürlich praktisch 32 oder 33 Erscheinungen), in 1000 Coups wären es dann dann 324 Erscheinungen, usw.

Für die Anzahl der Versuche (oder Würfe, Coups) schreibt man üblicherweise den Buchstaben n (vermutlich für engl. number = Zahl).

Für den Erwartungswert selber schreibt man meistens den griechischen Buchstaben μ (sprich: Mü, entspricht unserem m für Mittelwert).

Man kann auch einfach ein E nehmen (für Erwartungswert).

Die allgemeine Rechenvorschrift ist also E = n * p (sprich: Erwartungswert ist n mal p), d.h. Anzahl der Würfe mal W'keit der Chance.

Nach diesem Muster kann man für jede Anzahl Coups den Erwartungswert ausrechnen, d.h. wie oft eine Chance durchschnittlich erscheint in soundsoviel Würfen.

bearbeitet August 5, 2010 von Optimierer

[Optimierer]

Damit haben wir bereits das ganze Rüstzeug zum Berechnen der sog. Standardabweichung – naja fast, man muss dann noch eine Quadratwurzel ziehen, aber das macht ja der Taschenrechner für uns ganz problemlos.

Also weiter...

Der Erwartungswert ist ja nur ein Mittelwert, d.h. in z.B. 100 Coups erscheint z.B. das erste Dutzend durchschnittlich ungefähr 32 oder 33 mal.

In der Praxis können es natürlich auch ein paar Erscheinungen mehr oder weniger werden; so ganz genau kann man das leider nicht vorhersagen.

Um trotzdem etwas genauer zu werden, kommt nun die sogenannte Standardabweichung ins Spiel: Es ist die Abweichung vom Erwartungswert nach oben (=mehr Erscheinungen) oder nach unten (=weniger Erscheinungen), die sich normalerweise ergibt.

Fortsetzung folgt...

bearbeitet August 4, 2010 von Optimierer

[Optimierer]

Platzhalter

[Webzocker]

Super! Weiter so!

[mikethepike]

Damit haben wir bereits das ganze Rüstzeug zum Berechnen der sog. Standardabweichung – naja fast, man muss dann noch eine Quadratwurzel ziehen, aber das macht ja der Taschenrechner für uns ganz problemlos.

Also weiter...

Der Erwartungswert ist ja nur ein Mittelwert, d.h. in z.B. 100 Coups erscheint z.B. das erste Dutzend durchschnittlich ungefähr 32 oder 33 mal.

In der Praxis können es natürlich auch ein paar Erscheinungen mehr oder weniger werden; so ganz genau kann man das leider nicht vorhersagen.

Um trotzdem etwas genauer zu werden, kommt nun die sogenannte Standardabweichung ins Spiel: Es ist die Abweichung vom Erwartungswert nach oben (=mehr Erscheinungen) oder nach unten (=weniger Erscheinungen), die sich normalerweise ergibt.

Fortsetzung folgt...

@ Optimierer

( ich kann leider die Smily's für frenetischen Beifall nicht finden, bin nicht sehr geübt am PC, aber nimm meinen Applaus auch so entgegen).

In vielen Arbeiten wurden diese Tatsachen schon beschrieben (v. Haller, Woitschach, Clarius usw.) aber selten habe ich das so klar, knapp und ohne Schnörkel gefunden. Ich freue mich auf die versprochenen weiteren Beiträge. Noch mal

CHAPEAU

mikethepike

[emil]

Super! Weiter so!

Kommt garnix mehr

Echt guter Thread. Mathe in Kompaktform

evdp

[Ciscopedro22]

Hallo Zusammen,

es ist tatsächlich so, Roulette ist ein einfaches Spiel.

Wer von 100 Coups redet ht ausser Kopfschmerzen doch wohl wenig erreicht.

Der Mensch kann sich maximal 60 Minuten voll konzentrieren, dies aber wiederum nur an einem Tisch.

Spieler die von Tisch zu Tisch rennen, springen entweder dem Spiel davon oder hinterher.

Jeder sollte nach seinen festen Regeln spielen, wissen wann er was setzt und vorallem wissen wann er aufhört.

Übrigens Glück kommt von gelingen und gelingen wird demjenigen etwas, welcher weiß was er zu tun hat.

Also viel Glück und denkt!

Pedrocino

[sachse]

Der Mensch kann sich maximal 60 Minuten voll konzentrieren, dies aber wiederum nur an einem Tisch.

Hallo Pedro,

da bist Du aber grausam im Irrtum.

Mit beinahe 66 Jahren habe ich kein Problem damit, 10 und

mehr Stunden am Stück konzentriert zu spielen.

Davon stehe ich sogar meist die ersten 3-4 Stunden.

Auch die vorwiegend fremden Sprachen beeinträchtigen mich dabei nicht.

Ist alles nur Training, Routine und Emotionslosigkeit.

sachse

[maybe]

Hallo Pedro,

da bist Du aber grausam im Irrtum.

Mit beinahe 66 Jahren habe ich kein Problem damit, 10 und

mehr Stunden am Stück konzentriert zu spielen.

Davon stehe ich sogar meist die ersten 3-4 Stunden.

Auch die vorwiegend fremden Sprachen beeinträchtigen mich dabei nicht.

Ist alles nur Training, Routine und Emotionslosigkeit.

sachse

solange man dich nicht dabei versucht zu reanimieren.

maybe

bearbeitet August 10, 2010 von maybe

[Optimierer]

Schade, jetzt hab' ich mir doch zuviel Zeit gelassen mit der Fortsetzung, und kann oben nicht mehr editieren, naja.

Wir waren bei der

Standardabweichung

Die Standardabweichung ist also die Abweichung vom Erwartungswert nach oben (=mehr Erscheinungen) oder nach unten (=weniger Erscheinungen), die sich normalerweise ergibt, wenn der Zufall regiert.

Für die Standardabweichung schreibt man üblicherweise den griechischen Buchstaben σ (sprich: Sigma, entspricht unserem s für Standardabweichung).

Man kann auch einfach ein S nehmen (für Standardabweichung).

In englischen Texten findet man oft die Bezeichnung SD (für engl. Standard Deviation = Standardabweichung)

Zum Ausrechnen nimmt man erst den Erwartungswert mal Gegenwahrscheinlichkeit der Chance, und zieht dann noch die Quadratwurzel daraus.

Die allgemeine Rechenvorschrift ist also: S = √ (E * q) (sprich: Standardabweichung ist die Wurzel aus Erwartungswert mal Gegenw'keit)

Das Zeichen √ bedeutet Wurzel ziehen. Die meisten Taschenrechner haben dafür eine extra [√]-Taste¹⁾.

Die Klammern bedeuten nur, dass man zuerst E * q ausrechnen soll – davon dann die Wurzel.

Beispiel für das erste Dutzend in 100 Coups

Die Gegenw'keit (1 - W'keit für das Dutzend) haben wir oben bereits berechnet zu 0,676

und auch den Erwartungswert (100 * W'keit): 32,4 Erscheinungen sind in 100 Coups zu erwarten (d.h. natürlich praktisch 32 oder 33 Erscheinungen)

Für die Standardabweichung rechnen wir also einfach 32,4 * 0,676 = 21,9 und ziehen dann noch die Wurzel daraus:

√ 21,9 = 4,68 Erscheinungen mehr oder weniger als erwartet sind standardmäßig normal²⁾ (d.h. natürlich praktisch +/-5 Erscheinungen).

In 100 Coups ercsheint unser erstes Dutzend also normalerweise zwischen 32,4 – 4,68 = 27.72 mal und 32,4 + 4,68 = 37,08 mal.

In der Praxis also ca. 27 bis 37 mal. Das liegt dann innerhalb der normalen Standardabweichung.

Nach diesem Muster kann man für jede Chance die Standardabweichung ausrechnen

-------------------

¹⁾ Falls nicht, kann man die Wurzel auch mit der [x^y]-Taste berechnen:

Erst E * q ausrechnen und dann [x^y] – 0,5 [=] eingeben.

Das funktioniert, weil x^-0,5 dasselbe ist wie √x (x sei irgend eine Zahl).

²⁾ Wer's genau wissen will:

Beim Wurzelziehen ist es so, dass das es eigentlich zwei Ergebnisse gibt, eins mit positivem Vorzeichen und eins mit negativem.

√4 z.B. ist sowohl 2 als auch -2, weil 2 * 2 = 4 ist und -2 * -2 ebenfalls.

Die Quadratwurzel irgendeiner Zahl x ergibt ja mit sich selbst multipliziert genau x, und solche gibt es eben zwei.

Weil die Standardabweichung auch so eine Wurzel ist, also zwei Werte hat, kann man ihren Betrag zum Erwartungswert sowohl dazuzählen (+Sigma) als auch abziehen (-Sigma), was dann eben die Grenzen links und rechts vom Erwartungswert ergibt, die in der Grafik dargestellt sind (im nächsten Beitrag).

Fortsetzung folgt...

bearbeitet August 13, 2010 von Optimierer

[Optimierer]

Mehrfache Standardabweichung

Die Bedeutung der Standardabweichung kann man am besten anhand einer Grafik erkennen:

Die Kurve zeigt die sogenannte Normalverteilung¹⁾ – wer will, kann auch einen Busen darin sehen .

Je weiter oben ein Punkt auf der Kurve liegt (abzulesen an der senkrechten Achse), umso häufiger ergibt sich in der Praxis die entsprechende Anzahl Erscheinungen (abzulesen an der waagerechten Achse). Wie man unschwer erkennt, liegt der Kurvenpunkt des Erwartungswerts am höchsten; es ergibt sich also sehr oft eine Anzahl Erscheinungen in der Nähe des Erwartungswerts.

Der grün unterlegte Bereich der Kurve ist der Bereich der Standardabweichung.

Er umfasst 68,3% der gesamten Fläche unterhalb der Kurve. In 68,3% der Fälle bewegt sich also die tatsächlich beobachtete Anzahl der Erscheinungungen in der Umgebung des berechneten Erwartungswerts, plus/minus Standardabweichung eben.

Das reicht für eine grobe Schätzung, aber der Zufall ist frei wie ein Vogel und hält sich im Rest der Fälle nicht an diese Grenzen .

Der Rest ist natürlich 100% - 68,3%, und das sind 31,7% aller Fälle, was immerhin fast ein Drittel ist.

In diesen Fällen liegt die tatsächlich beobachtete Anzahl Erscheinungen also links oder rechts des grünen Bereichs auf der Kurve.

Die Kurve ist dort schon relativ flach, was eben anzeigt, dass sowas seltener vorkommt.

Fortsetzung folgt...

-------------------

¹⁾ Beim Roulette ergibt sich in Wahrheit keine Normalverteilung, sondern eine sogenannte Binominalverteilung.

Dabei ist die Kurve je nach Chance mehr oder weniger schief, d.h. auf einer Seite steiler als auf der anderen, vergleichbar mit einem echten Busen.

Der Unterschied macht sich aber kaum bemerkbar und verschwindet mit steigender Anzahl Versuche.

bearbeitet August 13, 2010 von Optimierer

[König Artus]

Superthread !

So macht Mathe Spaß

[sachse]

solange man dich nicht dabei versucht zu reanimieren.

maybe

Drecksack!!!

sachse

[Cracker]

Hallo Optimierer.

Kannst du hier auch mal die Glockenkurve und die Sigmaberechnungen in den Grundzügen erklären?

[sachse]

Für eine Pleinzahl ist es einfach:

Anzahl der Spiele x 0,027027

Das Ergebnis x 0,972972

Daraus die Wurzel ergibt 1 Sigma

1 Sigma x 3 ergibt grob die Grenze des Zufalls

sachse

[Optimierer]

Kannst du hier auch mal die Glockenkurve und die Sigmaberechnungen in den Grundzügen erklären?

Hab' ich doch gemacht.

Die Berechnung in Beitrag #13 und die Kurve in Beitrag #14.

Noch Fragen?

Gruß, Optimierer

[chakalaka]

Die Berechnung in Beitrag #13 und die Kurve in Beitrag #14.

Noch Fragen?

Ist die Glockenkurve von Gauss nicht dazu da, dass man schon allein aus der Grafik ablesen kann, wo man sich rechnerisch befindet?

Ich kenne das nur so, dass man die Berechnung darstellen kann.

Aber anhand der Grafik die Berechnung weiterzuführen wäre doch viel interessanter.

chakalaka

[sachse]

Nachtrag aus Wikipedia:

68,27 % aller Zahlen haben eine Abweichung von höchstens 1 Sigma vom Mittelwert,

95,45 % aller Zahlen haben eine Abweichung von höchstens 2 Sigma vom Mittelwert,

99,73 % aller Zahlen haben eine Abweichung von höchstens 3 Sigma vom Mittelwert.

Diese Abweichungen betreffen plus und minus.

sachse

[Cathrin]

Nur zur Information:

Es gibt aber auch Abweichungen von 6 und 7 Sigma!

[sachse]

Nur zur Information:

Es gibt aber auch Abweichungen von 6 und 7 Sigma!

Natürlich aber dann kann man in den meisten Fällen davon ausgehen, dass es sich nicht mehr um Zufall handelt.

Auf dieser Basis arbeiten z.B. Gütekontrollen in der Industrie und auch die Analyse von mechanischen Ungenauigkeiten

des Roulettes(Kesselfehlern).

sachse

[Optimierer]

Hallo chakalaka,

Ist die Glockenkurve von Gauss nicht dazu da, dass man schon allein aus der Grafik ablesen kann, wo man sich rechnerisch befindet?

Ich kenne das nur so, dass man die Berechnung darstellen kann.

Aber anhand der Grafik die Berechnung weiterzuführen wäre doch viel interessanter.

Verstehe nicht, wie du das meinst. Es gibt nicht "die" Glockenkurve, sondern viele davon, je nach zugrendeliegender Chance bzw. W'keit für das Einzelereignis und untersuchter Anzahl Coups. Die entstehende Kurve ist zwar immer ähnlich, aber sie kann mehr oder weniger hoch und breit sein. Das hängt von der sog. Varianz E*p*q ab, aber soweit wollte ich hier nicht gehen. Es geht ja hier nur um das Prinzip, wie die Erscheinungshäufigkeiten verteilt sind, eben glockenkurvenartig um den Erwartungswert. +/-Sigma liegt horizontal an den Umkehrpunkten, d.h. dort, wo die Kurve wieder flacher wird.

68,27 % aller Zahlen haben eine Abweichung von höchstens 1 Sigma vom Mittelwert,

95,45 % aller Zahlen haben eine Abweichung von höchstens 2 Sigma vom Mittelwert,

99,73 % aller Zahlen haben eine Abweichung von höchstens 3 Sigma vom Mittelwert.

Ja, das wollte ich in der Fortsetzung noch bringen. Bin bis jetzt nur bis zur einfachen Standardabweichung gelangt.

Es gibt aber auch Abweichungen von 6 und 7 Sigma!

Natürlich aber dann kann man in den meisten Fällen davon ausgehen, dass es sich nicht mehr um Zufall handelt.

Auf dieser Basis arbeiten z.B. Gütekontrollen in der Industrie und auch die Analyse von mechanischen Ungenauigkeiten

des Roulettes(Kesselfehlern).

sachse hat recht. So große Abweichungen bringt der Zufall gar nicht oder nur gaaaanz selten zustande. In industriellen Prozessen kann man so feststellen, ob die gefertigten Teile noch innerhalb der normalen (zufälligen) Toleranzen liegen, oder ob ein Produktionsfehler vorliegt. Abweichungen größer als 2 Sigma in einer größeren Stichprobe weisen auf Produktionsfehler hin.

Gruß, Optimierer

bearbeitet August 16, 2010 von Optimierer

[charly22]

moin optimierer

ich hab da mal ne frage,darf man 2 trefferwahrscheinlichkeiten addieren?

ist das mathematisch in ordnung?

gruss charly