Der Las Vegas Coup!

[oz3a]

hi Bank !

Find ich toll, daß du schon Experimente machst !

Du arbeitest auch mit dieser Gleichung von

Thorp/Shannon x(t)=ae^bt+c.

Kennst du den Gültigkeitsbereich dieser Gleichung ?

- ab Kugeleinwurf

- ab Ablösung vom äußeren Radius

- oder gesamte Bahn bis Aufprall auf Raute ?

Ist der Abrisspunkt (in deiner Ausdrucksweise) der Punkt bei dem die Kugel Richtung Kesselzentrum sich zu bewegen beginnt ?

Eine Interpretation dieser Gleichung: Bahn einer logarithmischen Spirale.

Grüße

oz3a

[Bank]

Ich betrachte nur die Zeit bis zum Beginn des Bewegens der Kugel in die Kesselmitte. Zu diesem Zeitpunkt ist die Fliehkraft, die sich aus der Geschwindigkeit der Kugel ergibt genau gleich der Schwerkraft, die sich aus der Kesselschräge ergibt. Das tolle ist, dass diese Geschwindigkeit für den gleichen Kessel immer gleich ist, die Kugel sich an dieser Position (Winkel) in immer der gleichen Zustand (abgesehen Eigenrotation) befindet. Der weitere Verlauf bis zu den Rhomben ist dann also auch konstant (bis auf den Winkel-Versatz), braucht also nicht berechnet zu werden.

Mein Ansatz: Wenige Messungen an einer Kugel/Kessel-Kombi. reichen aus, um dann zukünftig mit nur einer Zeitmessung eines (ev. zwei) Umlaufs diesen Abreisspunkt vorherzusagen.

Misst man dann noch die Position und Geschwindigkeit des Innenkessels, bleiben als Unbekannte nur noch die Rhomben und das Springen der Kugel. Dies muesste man dann mit Statistik erschlagen (Viele Würfe auswerten).

Für weitere Experimente werd ich die Kugel/Kessel im PC simulieren, obwohl mir die Physik nicht 100%ig klar ist.

Die Simulation ergibt z.Z. z.B. folgende Zeiten für den Umlauf der Kugel:

1.Umlauf 2.03 Sek.

2.Umlauf 2.43 Sek.

3.Umlauf 2.9 Sek.

4.Umlauf 3.47 Sek.

5.Umlauf 4.16 Sek.

6.Umlauf 4.98 Sek.

7.Umlauf 5.98 Sek.

Dies ist logarythmisch, d.h. jeder Umlauf verlangsamt sich um einen konstanten Faktor (hier etwa 1.2). Bin mir nicht ganz sicher, ob das plausibel ist.

[oz3a]

Hi Bank !

Eine Datenanpassung deiner Daten an diese Gleichung

x(t)=ae^bt+c

führt zu

x(t)=1.69573 e^(0.18037)t + c

wobei c einfach nur den Ort repräsentiert, an dem die Kugel eingeworfen wurde (hab ich einfach Null gesetzt)

Vielleicht hilft Dir das weiter.

[oz3a]

Bei meinem letzten Posting ist mir mindstens ein Denkfehler unterlaufen und nehme es damit zurück.

Sorry

oz3a

[chip master]

Hallo Bank,

Die negative Beschleunigung ergibt sich aus Zusammenspiel von Erdanziehung, Reibwert und vor allem Luftwiderstand.

Der Luftwiderstand ist der größte Faktor dabei. Dementsprechend ist die negative Beschleunigung gegen Ende geringer als am Anfang. Es ist so, als wenn du bei 200 km/h im PKW das Gas lupfst. Du verlangsamst dich stärker als bei 50 km/h.

Allerdings dürfte der Unterschied bis zum Auftreffen auf die Raute nicht so groß sein.

Daraus kann man schließen, der Faktor der negativen Beschleunigung ist relativ konstant.

Das große Problem dürfte der Luftwiderstand sein. Der ändert sich mit jedem weiteren Besucher oder öffnen eines Fensters, da er von der Luftfeuchtigkeit abhängt.

Ich glaube allerdings die Lösung liegt in einem einfacheren Weg. Werfe doch mal 370 x die Kugel, ohne den Nummernkranz zu drehen. Du wirst staunen.

[Bank]

Ich will die Position und Zeit vorhersagen, an der die Kugel die Rhomben im Kessel erreicht.

Ich denke die Formel   w(t) = a e^(b t) + c  ist brauchbar.

t ist die Zeit *bevor* die Kugel auf Rhomben-Höhe ist (geht also in die Vergangenheit).

w(t) ist dann der Weg (bzw. Kesselwinkel) an der die Kugel zum Zeitpunkt t ist bzw. war.

Der Weg 0 ist dabei gleich der Winkel-Position der Kugel zur Zeit t=0, also dann wenn sie in Kesselhöhe ist.

Die Funktion ist nur für Zeiten t definiert, die vor dem Zeitpunkt des Abrisses vom Kesselrand liegen. Ausserdem gilt logischerweise w(0) = 0. Für Zeiten t bei denen die Kugel vom Kesselrand abgerissen ist und spiralförmig hinutertrudelt (0 < t < Tabreiss) ist die Funktion nicht definiert.

Also:

w(t) = a e^(b t) + c, für t >= Tabreiss

w(t) = 0, für t = 0

Ich mache mir zunutze, dass ab Abreisspunkt die Kugel immer den gleichen Zustand hat, der weitere Kugellauf

bis zur Höhe der Rhomben also immer gleich ist. Deshalb ist der Abreisspunkt selbst nicht relevant, sondern

bereits in a,b und c mit 'eingereichnet'.

Alle Betrachtungen finden entweder bei t = 0 oder t >= Tabreiss statt, ich muss also Tabreiss nicht genau kennen! Dies machts viel einfacher.

Bestimmung von a,b und c:

a ,b ,c sind für eine Kugel/Kessel-Kombination konstant, aber unbekannt.

Ich messe dazu mehrere aufeinanderfolgdene Zeitpunkte t3, t2, t1, an denen die Kugel an einem Refernzpunkt vorbeikommt (jeweils genau ein einziger Kugelumlauf dazwischen), aber noch nicht von Kesselrand abgerissen ist. t3 > t2 > t1 > 0, da t3 der erste Messpunkt ist, also am weitesten in der Vergangenheit liegt.

Zusätzlich messse ich die Winkel-Position w0 der Kugel, sobald sie in Rhombenhöhe ist. w0 ist also der Versatz meines Kessel-Referenzpunktes und des Wertes w(0), der ja 0 ist.

Dann kann ich folgende Gleichungen aufstellen (Weg/Winkel in der Einheit Grad (1 Kugelumlauf = 360 Grad)):

w(t3) = w(t2)+360,

w(t2) = w(t1)+360,

w(t1) modulo 360 = w(t2) modulo 360 = w(t3) modulo 360 = w0,

0 <= w0 < 360

Jetzt versuche ich Lösungen für a,b, und c zu finden (t3,t2,t1 und w0 sind bekannte Messwerte). Ich denke dabei an ein Programm, dass sich durch Intervallschachtelung annähert.

Wegen dem Modulo kann ich hier ev. mehrere Lösungen finden? Die kann man dann u.U. durch mehrere Messvorgänge reduzieren? Alle Messungen am gleichen Kugel/Kessel müssen ja die gleichen Lösungen für a, b und c liefern, sonst ist die Formel falsch.

Vorhersage:

Hab ich die Parameter a,b,c bestimmt, kann ich die Zeitdiffernz td für exakt einen Kugelumlauf (an einem Referenzpunkt) messen. Jetzt gilt:

w(t) + 360 = w(t+td)

t ist jetzt die gesuchte Zeit, die noch vergeht, bis die Kugel die Höhe der Rhomben erreicht. Ich suche also eine Lösung für t (wieder Näherung durch Intervallschachtelung?).

Hab ich t, kann ich einfach w(t) berechnen, dies ist dann die gesuchte Position der Kugel, sobald sie in Höhe der Rhomben ist.

Ich weiss zusätzlich, dass sich der Innenkessel noch die Zeit t mit annähernd kostanter Geschwindigkeit bewegen wird, bis sich die Kugel in Rhombenhöhe befindet.

Das Roulette-Problem reduziert sich für mich also auf das Rhomben-und-Sprung-Chaos.

Allerdings ist die Kurve w(t) für große t (Zeiten vor 'Nichts-Geht-Mehr') sehr steil (Kugel ist noch schnell), sodass kleine Messfehler bei td große Auswirkungen auf die vorhergesagte Zeit t (und damit postion) haben. Bei einem flachen Kessel ist zudem die Kurvenbahn in Rhombenhöhe recht flach, sodass kleine Fehler in der Winkelposition große Auswirkungen auf die ev. getroffene Rhombe und die Treffstelle haben.

Es bleibt also fraglich, ob einen die ganze Rechnerei überhaupt signifikant weiterhilft.

Wenn ich genug Zeit und Lust habe, werd ich für meine Formeln mal ein 'Vorhersage-Programm' bauen.

[oz3a]

@ Bank !

Hast Du Meßdaten verfügbar?

Ich habe ein Programm zur Parameteranpassung.

Könnten wir einen Test machen.

[oz3a]

@ Bank

Deine Definition: w(t) = 0, für t = 0

w(0) = a e^(b 0) + c

0= a*1 + c

c = -a

damit nur mehr 2 Paramter

Neue Gleichung:

w(t) = a e^(b t) - a

[Bank]

@oz3a

Nein, wir brauchen doch 3 Parameter a,b und c denn die Funktion ist nicht stetisch. Grafisch ist das ungefähr so:

Ab Tabriss beginnt eine Expoentialfunktion die steil ins positive ansteigt. Der Anfang ist irgendwo im positven, d.h. w(Tabriss) > 0. Die Exponentialfunktion geht nach links fuer t < Tabriss irgendwie weiter (nach unten) und nicht unbedingt durch den Ursprung. Doch diese Werte interessieren mich nicht und daher definiere ich sie als undefinert, und male sie auch nicht auf. Stattdessen definiere ich 'zur Veranschaulichung' den 'Hilfspunkt' w(0) = 0 hinzu.

Messwerte:

Ok, Werte aus meiner Kessel/Kugel-Simulation (also u.U. völlig unrealistisch und ev. gar nicht geignet).

3 Würfe mit verschiedenen Wurfstärken:

1.Wurf

t3 = 33.31 Sekunden

t2 = 29.84 Sekunden

t1 = 25.68 Sekunden

w0 = 297 Grad

2.Wurf

t3 = 27.97

t2 = 23.45

t1 = 18.03

w0 = 128 Grad

3.Wurf

t3 = 43.24

t2 = 41.73

t1 = 39.92

w0 = 158 Grad

Jetzt eine Bespiellösung:

td = 3.23 Sekunden

Lösung: t = 31.3, w(t) ist 81 Grad; w(t) könnte aber falsch sein, da ich die Vorzeichen beim Versatz zum Ref-Punkt noch nicht 100%ig durchdacht habe :-)

Nun die Aufgabe:

td = 5.44 Sekunden

Wie lautet t d.h. nach welcher Zeit wird die Kugel die Rhomben-Höhe erreichen?

Wie lautet dann w(t), d.h. in welcher Kessel-Position wird die

Kugel die Höhe der Rhomben erreichen?

Freiwillige vor...

Kleine Hilfe für alle Einsteiger: In der Aufgabe ist die Kugel schon wesentlich langsamer als in der Beispiellösung (5.44 für einen Umlauf statt 3.23), sie wird also eher ins Kesselinnere trudeln, t wird also kleiner als 31.3 sein.

(Zahlen ohne Gewähr)

[oz3a]

Habs leider nicht verstanden:

t3 > t2 > t1 > 0, da t3 der erste Messpunkt ist, also am weitesten in der Vergangenheit liegt.

1.Wurf

t3 = 33.31 Sekunden

t2 = 29.84 Sekunden

t1 = 25.68 Sekunden

Daraus vermute ich:

t3 = Zeitdauer der ersten Messung für einen vollständigen Umlauf (=360°)

t2 = Zeitdauer des unmittelbar darauffolgenden Umlaufs (=360°)

damit müßte t3 kürzer als t2 sein, Reibungsverluste verringern die Geschwindigkeit, erhöhen die Umlaufdauer

- 33.31 sec ??  kommt mir lange für einen Umlauf vor

-  N.B.:  w(t) = a e^(b t) + c kann auch als Gleichung für eine Logarithmische Spirale gesehen werden, somit vielleicht doch nicht uninteressant zur Beschreibung der Kugelbahn nach Abriß von Kesselrand ; wollte dazu schon mal ein Bild reinstellen - wurde mir verweigert

[Bank]

Ich versuchs mal so:

Die 3 Wuerfe dienen der Bestimmung der Parameter a,b und c.

Hier messen wir keine Umlaufzeiten, sondern Zeitpunkte (Uhrzeiten) an denen die Kugel am Referenzpunkt vorbeikommt ("Lichtschranke"). Dies sind direkt Koordinaten auf der t-Achse. Allerdings ist unsere Uhr so umgebaut, dass sie Rückwärts läuft und zum Zeitpunkt, an dem die Kugel dann die Rhombenhöhe erreicht, genau Ihren 0-Durchgang hat. Praktisch heisst das, dass man die richtigen Werte für t3, t2, t1 erst dann kennt, wenn die Kugel die Rhomenhöhe erreicht hat, also fast schon in Zahlenfach ist.

Mit einer handelsüblichen Uhr geht das so:

Kugel erstes mal Referenzpunkt (kann aber vorher schon beliebig viele Umläufe gehabt haben): Uhrzeit u3 aufschreiben.

Kugel zweites mal am Referenzpunkt: Uhrzeit u2 aufschreiben

Kugel drittes mal am Referenzpunkt: Uhrzeit u1 aufschreiben.

Kugel schliesslich in Rhombenhöhe: Uhrzeit u0 aufschreiben.

Just kann man t3,t2 und t1 berechnen:

t3 = u0-u3,

t2 = u0-u2,

t1 = u0-u1

 

Später im Vorhersage-Modus braucht man dann aber nicht die

absoluten Zeiten. td ist dann immer die Differenzzeit, die die Kugel für genau einen Umlauf vom Referenzpunkt zum Referenzpunkt braucht. Wenn man hier u0 abwarten muesste, könnte man ja seinen Einsatz erst dann Setzen, wenn die Zahl schon feststeht :-). td ist also im Beispiel immer viel kleiner als t3,t2 oder t1.

Vielleicht hilft das zur Veranschaulichung:

In einem Koordinatensystem trägt man einen punkt bei (t1,5) ein, den zweiten bei (t2,6) den dritten bei (t3,7) ein. Die 5 hat dann hier die beispielhafte Bedeutung: Die Kugel legt noch genau 360*5 Grad zurück, bis sie die Rhombenhöhe erreicht hat. Jetzt verbindet man den ersten punkt und den zweiten mit einer Linie und den zweiten und dritten punkt mit einer Linie. Einen einzelnen Punkt kann man noch bei (0,0) einzeichnen. Jetzt kann man die 'Kurve' noch andeutungsweise exponentiell nach rechts und oben verlängern. Wenn man sie dann noch andeutungsweise nach links unten verlängert (aber nicht soweit, dass sie eine der beiden 0-Achsen erreicht) und den Endpunkt dieser Verlängerung mit 'Abrisspunkt' beschriftet, hat man genau das, was ich mir vorstelle.

Logarithmische Spirale:

Wenn ich von Spirale oder von 'spiralförmig' rede, meine ich immer das 'Trudeln' der Kugel vom Kesselrand bis zu den Rhomben. Da dies jedoch mit den 'Abreisspunkt' beginnt und der Kugelzustand an diesem Punkt immer gleich ist, ist dieser Vorgang in Zeit und Weg konstant und damit für mich VOELLIG UNINTERESSANT, da in den Kostanten a,b,und c bereits enthalten. Ich nutze die Formel nur für Zeiten VOR dem Trudeln (groessere t), also für t > Tabriss. Warum mache ich diesen Unterschied? Während des Trudeln wird die Kugel nicht mehr durch die Fliehkraft an den Kesselrand gedrückt. Wir hätten also andere Reibungswerte, muessten für diese Zeit also mit einem zweiten Parametersatz a2,b2,c2 arbeiten. Dies spare ich mir, da ich es nicht brauche.

Im 'obigen Bild' ist der Bereich zwischen (0,0) und 'Abrisspunkt' genau der Trudelbereich; dort ist im Graph nichts eingezeichnet.

[Bank]

Jetzt mal eine echte Skizze dazu:

home.graffiti.net/bank2002/roulette.jpg

[Bank]

Hier vieleicht noch mal die Erklärung der Idee anhand der Skizze:

Betrachten wir einen Kugelwurf vom Zeitpunkt des Einwurf an.

Die Kugel klebt durch die Fliehkraft am Kesselrand. Die geschwungene Linie in dem Graph ist quasi die Bahn der Kugel. Die Kugel kommt dabei von oben rechts (da t in die Vegangenheit geht, groessere t als früher stattfinden). Die Höhe der Linie gibt dabei genau den Kugelweg an (z.B. in Winkelgrad des Kessels) die sie noch zurücklegen wird bis sie die Rhomben erreicht. Die Kugel ist also zunächachst sehr schnell, die Kurve ist also sehr steil. Während die Kugel langsamer wird, wird Kurve immer flacher. Schliesslich ist die Kugel so langsam, dass die Fliehkraft nicht mehr ausreicht, sich am Kesselrand zu halten. An diesem 'Abreisspunkt'  hört die Kurve im Graph auf, da nach meiner Theorie dieser Abschnitt des 'Spiral-Trudels' nicht näher betrachtet werden muss. Ich weiss nur, dass die Kugel irgendwann die Rhomben erreichen wird. Damit ist sie dann genau im Ursprung des Koordinatensystems gelandet.

Die Grundidee ist nun, dass alle Kugelwürfe mit den gleichen Parametern (Kugel, Kessel, Luftdruck,...) bis zu den Rhomben immer gleich ist, erst dann folgt das Chaos. Der einzige Unterschied ist die Winkel-Position der Kugel, sobald sie die Rhomben-Höhe im Kessel erreicht hat. Diese gilt es ja vorauszusagen. Der Graph ist aber so normiert, dass dieser Punkt immer ganau Ursprung ist. Die Kugel folgt also ab Einwurf in den Kessel immer genau der gleichen Kurve. Ob sie weiter oben rechts oder eher weiter unten links anfängt, hängt nur von der Einwurfstärke/Engerie aber z.b. nicht der Position des Einwurfs ab (dies bitte unbedingt verstehen, sonst alles nochmal lesen).

Hat man die Kurve also einmal aufgezeichnet, kann man bei einem weiteren Kugelwurf die Zeit für genau einen Umlauf messen (z.B. 3 Sekunden). Jetzt sucht man den Abschnitt in der Kurve, in der die Differenz zwischen w(t) und w(t+3) genau ein Umlauf ist.  Da die Kurve 'ständig ihre Steilheilt ändert', gibt es nur genau einen solchen Abschnitt. Was sagt einem jetzt t? t ist jetzt ganau die Zeit, die noch vergeht, bis die Kugel auf Rhombenhöhe ist und die Höhe der Kurve beim Punkt t (also w(t)) ist genau der Weg den die Kugel bis dahin noch zurücklegen wird (vom Referenzpunkt aus gesehen) bis sie auf Rhombenhöhe ist.

Einfach, oder?

[oz3a]

Vorerst vielen Dank für Deine große Mühe.

Ist eine gute Idee, die Du hier vorstellst.

Ich denke, ich habe das gröbste mal verstanden.

Bin das Wochenende im Freizeitstreß, bleibe aber dran.

Grüße

oz3a

[billedivoire]

An alle Roulettisten...

mehr zur praktischen Anwendungen des im Buch beschriebenen Forschungsprojektes gibt es im

www unter  nowscape.com/blk/roul !!!

Dort gibt es auch Zeitdiagramme usw...

Auch der hardware-Bereich wird dokumentiert.

Mit besten Grüßen

-billedivoire-

[betman]

danke für den link,

die haben ja mit für heutige verhältnisse unglaublichen schrottgeräten gearbeitet.....

gruß

betman

[oz3a]

Ebenfalls Danke für den Link; ist höchst spannend.

@ Bank

Ich arbeite an einer geeigneten Gleichung für Dein Problem,

dazu eine weitere Frage:

Welchen Durchmesser hat Dein Kessel ?

Danke

[RCEC]

@bank

Mit diesem Fachwissen gehörst Du sicher zu den Basieux-schülern,oder irre Ich mich da?

diese sind eine sehr kleine Gruppe welche jedoch meistens im stillen operieren und nicht unbedingt in foren posten

mfg

G.B

[Carlo]

In LV operieren mindestens zwei mit Spezialbrillen ausgerüstete Gruppen schon seit Jahren unter äusserster Vorsicht und NICHT mit Maximumsätzen.

Vorsicht deswegen, weil es sofort ab in´s Jail geht, wenn man mit technischem Equipment erwischt wird.

mfG

Carlo

[Bank]

@oz3a

Mein Kessel hat keinen Durchmesser, da er im PC simuliert ist. Ist beliebig weit von der Realität entfernt.

Ich hab von Basieux vorher noch nix gehört, hab halt nur überlegt, wie denn die Formel mit e einen Sinn machen könnte.

War jetzt mal im echten Casino und hab mir das mal in Natura angeschaut und ein paar Handmessungen gemacht. Kessel ist steiler als ich erwartet hatte und Kugel spring auch nicht so. Oft springt sie einfach von der Rhombe einfach zurück ins Fach. Es gibt allerdings 16 Rhomben; das ist viel.

Ein paar Daten:

Innenkessel 6-8 Sekunden für 2 Umläufe.

Anzahl der Kugelumläufe recht unterschiedlich. Machmal wird die Kugel stark eingeworfen, manchmal schwach.

Typisch könnten z.B. 6-7 Kugelumläufe sein.

Ich hab mir einfach versucht, die Zahlen unter der Kugel am Ref-Punkt zu merken. Fand ich relativ schwierig, da es recht schnell geht. Wenn man nach 2-3 Umläufen noch einen Satz tätigen will, wird es zeitlich sehr eng.

Man muesste die echten Zeiten der Kugel am Referenzpunkt, die jeweiligen Zahlen am Refernzpunkt und zusätzlich noch die Innenkesselgeschwindigkeit messen, um nähere Aussagen über Signifikanz treffen zu können. Dies ist nicht einfach und ohne Technik fast nicht möglich. Sind eigentlich Notebooks im Casino erlaubt ? :-)

[oz3a]

Mathematik zum leicht abgewandelten Bank'schen Ansatz (kann aber leicht in Banks Idee umgeformt werden):

Voraussetzungen:

- Bahn der Kugel kann durch die Gleichung beschrieben werden: w(t) = a e^(b t) + c

- Hier geht’s nur um die Bahn der Kugel, Zahlenkessel ist ein anderes Thema

- keinerlei Berücksichtigung von sonstigen physikalischen Effekten wie Reibung, Luftreibung, Luftdruckschwankungen,  ...

somit rein modellhafter Ansatz

aus meiner Sicht genügt es, die Zeit in der Graphik nach rechts verlaufen zu lassen: t1

Die Kurve liegt vollständig im ersten Quadranten und verläuft von rechts oben nach links unten

c willkürlich gleich 0

Zuerst werden genügend Messungen in und gegen den Uhrzeigersinn durchgeführt (irgendwo las ich die Zahl 18 für jede Richtung)

Messung der Umlaufzeit wie oben von Bank beschrieben (1 oder besser mehrere Umläufe)

 Zu Messung gehört Zeitmessung bis Auftreffen der Kugel auf eine der Rhomben (Fehler durch unterschiedliche Rhombenanordnung !!)

Aus diesen Vorabmessungen kann nun die Exponentialkurve (oder auch Polynomfunktion) bestimmt werden.(ev. Berechnung mit Mikrocontroller), d.h. die Parameter: a, b,

U... Kesselumfang

Nun ist die Kurve bekannt, inklusive des Endpunktes (hier xend genannt) aus der Zeit bis zum Aufprall auf den Rhomben

Rekonstruktion des Abstandes der Kugel bis Aufprall:

Messung einer Umlaufzeit dt der Kugel, daraus Bestimmung des Kurvenpunktes.

U ... Kesselumfang

Kurvenpunkt:

x1 = -U/(Exp(- b dt) - 1)

restweg = Mod((xend – x1), U)

restwinkel = restweg * 360/U

restwinkel ist der Winkel, den die Verbindungsgerade  Kesselmittelpunkt-Aufprallpunkt mit dem Referenzpunkt (=Zeitmesspunkt ) einschließt.

In der Hoffnung mich verständlich ausgedrückt zu haben

oz3a

[Bank]

Das scheint sich ja mit meiner Idee ziemlich zu decken, ausser

dass Du den Verlauf vor und nach 'meinem Abrisspunkt' mit der gleichen Formel beschreiben willst (und daher c weglassen kannst, da der Graph durch den Ursprung geht.). Dies würde ich von der Physik her aber in Frage stellen wollen.

Gute Idee:

Betrachtung (und Versuch der Vorhersage) der getroffenen Rhombe statt einer 'Phombenhöhe'. Eine getroffene Rhombe läßt sich mämlich geradezu trivial einfach beoachten. Je mehr Rhombem es gibt, desto mehr entspricht der Zeitpunkt des Treffens einer Rhombe dem des Erreichens der Phobemhöhe. Vielleicht ist es ja sogar so, dass das Erhöhen der Rhombenanzahl durch die Casinos die Messung und damit Voraussage vereinfacht?

x1 = -U/(Exp(- b dt) - 1)

Die Formel verstehe ich nicht, wo ist z.B. a geblieben; ist aber nicht so wichtig, wenn das Modell stimmt.

Vorschlag:

U weglassen und stattdessen den Weg immer in Grad-Einheiten definieren: 1 Umlauf = 360 Wegeinheiten, egal wie groß der Kessel ist.

[oz3a]

Daß die Gleichung w(t) = a e^(b t) + c eine wesentliche physikalische Bedeutung hat glaube ich nicht. Grundsätzlich müßte der Lauf der Kugel im Kessel mit 3 dimensionalen zeitabhängigen Vektoren beschrieben werden.

Diese Gleichung ist eindimensional, somit kann sie höchstens einen Teil des Problems beschreiben.

Nähere Infos habe ich erbeten, wurden aber nicht geliefert.

Das Buch von Basieux besitze ich auch nicht...

Nun existiert aber die Behauptung, daß mit obiger Gleichung "erfolgreich" gearbeitet wurde.

Dein Beitrag liefert die Erkenntnis, daß unabhängig von der Anfangsgeschwindigkeit mit der die Kugel eingeworfen wird (diese Information geht durch die Wandreibung verloren), zumindest ein Teil des Kugelweges immer gleich verläuft.

Ein paar Umdrehungen auf der Kesselinnenwand macht jede Kugel nach entsprechendem Einwurf. Durch die Reibung wird die Geschwindigkeit reduziert. Ab einer gewissen Geschwindigkeit durchläuft die Kugel jedesmal denselben Prozeß: Erniedrigen der Restgeschwindigkeit durch Reibung, Ablösen von der Wand, Spiralbahn, Rhombenaufprall.

Einziger Unterschied: der Winkel relativ zu Referenzpunkt.

Deisen Winkel gilt es zu finden.

Gleichung w(t) = a e^(b t) + c habe ich mal vereinfacht: ich setze c=0; ein bestimmter Wert, sei er positiv oder negativ verschiebt nur die gesamte Kurve nach oben oder nach unten.

Die Winkelinformation steckt aber in der Kurvenform, bzw. wie du auch ausführst in den Tangentensteigungen an die Kurve.

Es bleibt:    w(t) = a e^(b t)

Angenommen wir kennen durch viele Messungen unsere Kurve.

Nun wollen wir durch Messung der Umlaufzeit bestimmen wo sich die Kugel auf unserer Kurve befindet:

Messung bei Referenzpunkt: t1, ein Umlauf: t2

Jetzt müssen wir unsere Gleichung etwas umformen, um die Stelle der Funktion zu finden, die diesem Zeitintervall entspricht:

w(t)    = a e^(b t)

w(t)/a =    e^(b t)

ln(w(t)/a) = b t

somit durch rein math. Umformungen : t = ln(w(t)/a) / b

Einsetzen der Zeitwerte und Annahme U ... Kesselumfang (auch in Winkelgraden möglich, 1U =360°):

w(t2) = w(t1) + U  !!!

t2 - t1 = [ln(w(t2)/a) - ln(w(t1)/a)] / b

Anwenden Logarithmusrechenregel:

t2 - t1 = ln[w(t2) / w(t1)] / b

Hier kürzte sich a raus !!

b(t2 - t1) = ln[w(t2) / w(t1)]

b(t2 - t1) = ln[(w(t1) + U )/ w(t1)]

b(t2 - t1) = ln[1 + U/w(t1)]

Jetzt wieder Exponentialfunktion auf beiden Seiten der Gleichung:

e^b(t2 - t1) = 1 + U/w(t1)

e^b(t2 - t1) - 1 = U/w(t1)

w(t1)= U/[e^b(t2 - t1) - 1]

Das ist die ominöse Gleichung, wahlweise U in Winkelgrad.

Für mich bleibt die Frage: wer hat einen geeigneten Kessel,um das auszutesten ???

[Bank]

Danke für die Erklärung der Gleichungen.

Weglassen von c:

Ich frage mich, was die Zeit t=0 in Deiner Gleichung ohne c bedeutet. Ich denke das soll der Zeitpunkt des Rhombenaufpralles sein. Das setzt dann aber voraus, dass die gleiche w(t)-Formel sowohl für die Zeit des Klebens am Kesselrand und auch des Spiraltrudels gilt.

Bei mir geht die e-Funktion nur zum Zeitpunkt des Ablösens vom Kesselrand. Dies ist quasi ein eindimensionaler Vorgang (ohne Vektoren), wenn man sich den Kessel mehrfach abgerollt vorstellt. Was danach passiert, ist bei mir undefiniert, aber bis zum Aufreffen auf die Rhomen sowohl in Zeit und Winkel-Weg konstant (für bestimmen Kessel+Kugel).

Kessel:

Hier gibts z.B. einen:

cgi.ebay.de/aw-cgi/eBayISAPI.dll?ViewItem&item=1708426251

Mein Mini-Spielzeugkessel ist für genaue Theorien nicht geeignet.

[real player]

Ruft doch einfach bei Kies oder Brückner & Tureck an. Die haben sicher was da.

Real Player