Geburtstagsparadoxon

[RCEC]

Diskussionen gerne erwünscht !

CU

RCEC

Special Thx to Casiayes

[Stranger]

Ich erinnere mich, dass in Schulklassen mit 30 Schülern es

häufig vorkam, dass 2 Schüler an dem gleichen Tag Geburtstag

hatten.

Das ist nicht besonders verwunderlich, weil schon bei 23 Schülern

die Wahrscheinlichkeit über 50 % für dieses Ereignis steht.

Die Rechnung kann ich hier nicht darstellen, sie wäre auch nicht

exakt. Besser ist es, man errechnet die Gegenwahrscheinlichkeit.

Ab 23 Personen ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 2 Personen am gleichen Tag Geburtstag haben, bereits größer als 50%,

ab 41 Personen ist diese Wahrscheinlichkeit bereits größer als 90% und

ab 70 Personen kann man von einem sicheren Ereignis sprechen, d. h. in einer Gruppe von 70 oder mehr Personen sind sicher 2 Personen, die am selben Tag Geburtstag haben.

Stranger

[Texas]

Die Frage lautet:

Wie wahrscheinlich ist es,jemanden zu treffen,der am selben Tag UND im selben Jahr geboren ist?

Wegen der natürlichen Vorgänge wird die Wahrscheinlichkeit mit zunehmenden Alter logischerweise immer KLEINER.

Beispiel:

Person A und Person B werden am selben Tag geboren.

Person A verstirbt.

Die Wahrscheinlichkeit, Person A danach noch einmal zu treffen, dürfte eher gering sein.

[piercingNRW]

Wie Stranger schon schrieb, in der Schule nichts ungewöhnliches. Ich gehe sogar noch weiter.

Jemand der am gleichen Tag Geburtstag hat, im gleichen Jahr geboren wurde und noch den gleichen Vornamen hat.

Mein alter Schulfreund. 7 Stunden jünger als ich und den gleichen Vornamen.

Gruss pierc (nichts ist unmöglich...............)

[local]

Wie Stranger schon schrieb, in der Schule nichts ungewöhnliches. Ich gehe sogar noch weiter.

Jemand der am gleichen Tag Geburtstag hat, im gleichen Jahr geboren wurde und noch den gleichen Vornamen hat.

Mein alter Schulfreund. 7 Stunden jünger als ich und den gleichen Vornamen.

Gruss pierc (nichts ist unmöglich...............)

←

Das ist natürlich erstaunlich, daß zwei elternpaare gleichzeitig auf diesen verrückten Namen "piercing" gekommen sind. Hießen die anderen Eltern auch NRW? Ist der andere dein Zwillingsbruder?

Fragen über Fragen!

gruss

local

[RCEC]

@ Stranger

schon bei 20 Schülern liegt die "theoretische " Wahrscheinlichkeit bei

20*20 = 400

also bei über 100%

man muß nur noch die jahre inkludieren

org oder,wie gering diese Wahrscheinlichkeit ist

cu

RCEC

[Texas]

ab 70 Personen kann man von einem sicheren Ereignis sprechen, d. h. in einer Gruppe von 70 oder mehr Personen sind sicher 2 Personen, die am selben Tag Geburtstag haben.

Dann wäre die Wahrscheinlichkeit = 1 ?

Dabei gibt's doch 365 (366) verschiedene Tage, wie kann es da bei 70 Personen sicher sein?

[Wenke]

Würd mal so schätzen: "Je jünger desto wahrscheinlicher".

Hängt damit zusammen welche Altersklassen mit ein ander Umgang haben.

In einem Kindergarten, ist die Wahrscheinlichkeit verdammt groß, das dort viele Kinder dem gleichen Jahrgang angehören.

Dann wäre nur noch das Tagesproblem einzubauen.

So jetzt warte ich mal auf die Auflösung, danach schimpf ich dann.

Beste Grüße

Wenke

[lui]

man kann die frage auch anders deuten. je älter ich werde, desto mehr personen sind mir begegnet und so größer ist die wahrscheinlichkeit, dass ich einer begegne, der am gleichen tag geburtstag hat.

da das so aber bestimmt nicht gemeint war, schließe ich mich als herdentier par excellence der mehrheit an.

[highestroller]

schon bei 20 Schülern liegt die "theoretische " Wahrscheinlichkeit bei

20*20 = 400

also bei über 100%

Ich weiss die genaue Rechnung auch nicht genau. Aber über diese Rechnung würd ich nochmal nachdenken.

Ich kann mich erinnern in Mathe das schonmal ausgerechnet zu haben. Ist aber schon a weng her. Die Wahrscheinlichkeit ist allerdings sehr hoch.

Als Ansatz würd ich mal folgendes Bedenken:

Ein Jahr 365 Tage. Ein anderer hat noch 364 Möglichkeiten an einem anderen Tag Geburtstag zu haben.

Mit den Jahren:

Angenommen, es gibt niemanden mehr , der vor 1900 Geburtstag hat. (Ich weiss ein paar gibt es noch)

Ein anderer hat noch (Tage seit 1.1.1900) - 1 Möglichkeiten an einem anderen Tag Geburtstag zu haben.

.

.

.

[Stranger]

Hallo @RCEC,

Du irrst Dich. Ganz so einfach ist es nicht.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Gruppe von k (>2 ) Personen mindestens 2 Personen am gleichen Tag Geburtstag haben?

Ereignis A: "Mindestens 2 Personen haben am gleichen Tag Geburtstag."

Gesucht: P(A) = ? Lösung: Wir bestimmen zunächst die Mächtigkeit des Ergebnisraumes W (wird durch das Zeichen Omega dargestellt !). Dazu denken wir

uns die 365 Tage eines Jahres durchnummeriert. Die Elemente von W sind dann k-Tupel, wobei an jeder Stelle des k-Tupels eine der 365 Zahlen steht. a) Die Anzahl aller k-Tupel aus der Menge der 365 Zahlen errechnet sich dann wie folgt:

[Anzahl der k-tupel] = 365 hoch k

b) Unter all diesen k-Tupeln sind viele bis auf die Reihenfolge der Zahlen identisch.

Die Reihenfolge ist aber für das Geburtstagsproblem unerheblich.

Für die Elemente eines k-Tupels gibt es k! Anordnungsmöglichkeiten. c) Die Anzahl aller bis auf die Reihenfolge verschiedenen k-Tupel (d. h. die

Mächtigkeit von W) errechnet sich dann wie folgt:

Omega = 365 hoch k / k!

(Frag mal Deinen Taschenrechner mit Fakultät)

d) Das Ereignis "mindestens 2 Geburtstage fallen zusammen" ist schwer zu erfassen.

Es können nämlich 2, 3 oder 4, usw. bis maximal k Personen sein, die am gleichen

Tag Geburtstag haben. Außerdem kann es auch mehrere Paare geben, die am

gleichen Tag Geburtstag haben.

Einfacher zu berechnen ist dagegen die Mächtigkeit des Gegenereignisses

A (Alpha) = "alle Geburtstage der k Personen sind verschieden",

wobei die Reihenfolge der Geburtstage wieder unwichtig ist:

e) Nach Laplace ererechnet sich die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A wie folgt

Wir kürzen diesen Bruchterm und erhalten:

Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisse A ist abhängig von der Anzahl k der anwesenden Personen. Die Wahrscheinlichkeit ist somit eine Funktion von k: P tief A(k). Da die Zahl 365! >10 hoch 307 ist, kann auch ein Computeralgebrasystem wie z. B. Mathcad, diese Formeln nicht mehr berechnen. Wir ersetzen deshalb einen Teil des Quotienten durch ein Produkt:

Für die Berechnung gilt

Die Funktionsvorschrift lautet

Ab 23 Personen ist also die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 2 Personen am gleichen Tag Geburtstag haben, bereits größer als 50%,

ab 41 Personen ist diese Wahrscheinlichkeit bereits größer als 90% und

ab 70 Personen kann man von einem sicheren Ereignis sprechen, d. h. in einer Gruppe von 70 oder mehr Personen sind sicher 2 Personen, die am selben Tag Geburtstag haben.

Mit den folgenden Zeilen wird die Tabelle_1 programmiert, die alle berechneten Wahrscheinlichkeiten für maximal 70 Personen enthält.

.......

Graphische Darstellung der Wahrscheinlichkeit P tief Alpha(k)

Wer das nicht glaubt, lese hier nach :

http://mathenexus.zum.de/html/stochastik/k...tagsproblem.htm

Stranger

[highestroller]

Ich glaub ich habs..

Die Wahrscheinlichkeit das alle an einem unterschiedlichen Tag Geburtstag haben:

Die Wahrscheinlichkeit dass ich an meinem Geburtstag Geburtstag hab ist 1 (365/365).

Der nächste hat 1 Möglichkeit weniger (364/365)

Der nächste hat 2 Möglichkeiten weniger (363/365)

Daraus ergibt sich die wahrscheinlichkeit p:

p=(365/365) * (364/365) * (363/365) ...

oder anders geschrieben:

(! steht für Fakultät: 4! = 4*3*2*1 = 24, n für die Personen und ^für die Potenz)

p= ( 365! - (365-n)! ) / 365^n

Für das Gegenteil (das alle nich an unterschiedlichen Tage haben, also mindestens 2 am selben haben)

P = 1 - ( 365! - (365-n)! ) / 365^n

Das kann man so allerdings nicht ausrechnen,da 365! kein Computer packt. Man kann das noch umformen, aber das hab ich jetzt grad nicht parat.

P.S: das (365-n)! muss man abziehen, da in der Reihe wie beim Beispiel oben ja die ganzen Teile bis (1/365 fehlen ) Also bei 3 personen Fehlen die Elemente

(362/365) ... (1/365)

Man möge mich bitte korrigieren, falls ich mich irre..

[highestroller]

Da war ich wohl zu spät.

...Naja jedenfalls so ähnlich...

[volvovelo]

Hallo Stranger, mathe-stochastisch hat das schon in Deinem Beitragslink # 2 ge-

stimmt. Die Abstimmfrage ist doch aber "älter" oder "jünger" ...

Ist nicht die Wahrscheinlichkeit als 1-5 Tage altes Baby in Kreiß-Saal-Nähe am höchsten (fast 100 %)?

Oder ist das zu kreaHoch?

volvovelo

[webpirat]

Ab 23 Personen ist  die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 2 Personen am gleichen Tag Geburtstag haben, bereits größer als 50%,

ab 41 Personen ist diese Wahrscheinlichkeit bereits größer als 90% und

ab 70 Personen kann man von einem sicheren Ereignis sprechen, d. h. in einer Gruppe von 70 oder mehr Personen sind sicher 2 Personen, die am selben Tag Geburtstag haben.

Stranger

Das wollte ich Stranger nicht glauben und habe deshalb mal geexcelt.

Es ist die gleiche Binomialverteilung, die man auch für Roulette-Berechnungen anstellt.

Folglich gilt auch hier das Zweidrittelgesetz.

In diesem Fall besagt es, dass, wenn 365 Leute in einem Saal sind, es 134 Tage gibt, an denen keiner der Anwesenden Geburtstag hat (Restanten) und 96 Tage, an denen mindestens 2 Leute ihren Geburtstag feiern (Favoriten).

Stranger hat Recht, schon bei 20 Teilnehmern gibt es mathematsich 0,504 Teilnehmer, die am gleichen Tag Geburtstag haben (erster Zweier). Dieser Wert steigt bei 29 Teilnehmern auf 1,059 – da ist dieses "seltene Ereignis" also schon ziemlich sicher.

Ich hätte das ehrlich gesagt nicht für möglich gehalten.

Witzig, dass ausgerechnet heute diese Frage gestellt wurde. Morgen feiert mein Sohn seinen 10. Geburtstag, zusammen mit seinem Freund aus der Klasse, der auch 10 wird.

Ich glaube, es sind 24 Schüler in der Klasse ...

Um auf die eigentliche Frage zurück zu kommen:

Ich denke, die Größte Wahrscheinlichkeit, einen Geburtstagsgenossen zu finden hat derjenige, dessen Jahrgang am "stärksten" ist.

In unserer überalterten Republik mit beklagenswert niedriger Geburtenquote sind das wohl eher die älteren Mitbürger und Mitbürgerinnen. Natürlich nicht jenseits der 70, da sterben sie dann doch weg.

Trotzdem, mein Tipp: eher die Älteren.

webpirat

p.s.: Ich sehe gerade, dass schon wieder jede Menge neue Postings dazu gekommen sind, sogar mit Diagrammen und Tabellen

[Texas]

Ich denke, die Größte Wahrscheinlichkeit, einen Geburtstagsgenossen zu finden hat derjenige, dessen Jahrgang am "stärksten" ist.

In unserer überalterten Republik mit beklagenswert niedriger Geburtenquote sind das wohl eher die älteren Mitbürger und Mitbürgerinnen. Natürlich nicht jenseits der 70, da sterben sie dann doch weg.

Trotzdem, mein Tipp: eher die Älteren.

@webpirat:

Wenn es keine lokale Begrenzung gibt, müsste ich dir widersprechen (s.o.); andererseits stimmt es natürlich, dass je zahlenmäßig größer ein Jahrgang, desto größer auch die Wahrscheinlichkeit.

[webpirat]

Ist nicht die Wahrscheinlichkeit als 1-5 Tage altes Baby in Kreiß-Saal-Nähe am höchsten (fast 100 %)?

volvovelo

Das ist eine sehr einleuchtende Theorie!

Aber denk' dran, volvovelo: Es gibt auch noch den Musikantenstadl, da müsste die Wahrscheinlichkeit noch größer sein.

Also doch die Älteren ...

@ Prof. Dr. Dr. Stranger

du hast uns alle sehr beeindruckt.

Ich schlage dich für den Nobelpreis vor ...

webpirat

[Monopolis]

Zum Spielen:

http://www.mathematik.ch/anwendungenmath/w...tag/simulation/

Nicht nur wegen der Geburtstage / Versuchsanordnung / Mathe........... )

[jason]

Hab´ ich was übersehen, oder sind die Berechnungen nur für einen Jahrgang ?

Und was sagt die " Es geht nicht Fraktion " dazu ?

[Monopolis]

Nein, es gibt SIE in allen Jahrgängen! )

[Casiyes]

Es begab sich, daß mir eine attraktive Frau begegnete.

Nach dem üblichen Austausch der Personalausweise stellte sich heraus,

daß sie am gleichen Tag, Monat und Jahr geboren wurde :

am 13. Juli 1949.

In Deutschland, in den frühen Morgenstunden.

Ich war baff, da ich selten Frauen treffen, die überhaupt im Juli Geburtstag haben.

In meiner Not wandte ich mich an den mathematisch - statistischen Experten, RCEC.

Ich suchte nach der Formel, um ihr sagen zu können : Donnerwetter, das sowas

geschieht hat die Wahrscheinlichkeit von 1 zu XXL.

Mein Motiv ist eher erotischer, denn astrologischer Natur.

Wer-weiß-was, das ist eine URL, unter der nach Registrierung Fragen an Experten

gestellt werden können.

Ich hab mir einen Schweizer Mathematik - Professor herausgepickt

und ihm mein "Problem" gemailt.

Sonst gehst mir aber gut.

[highestroller]

@ RCEC

Kleiner Tipp noch:

Man kann beim zocken vielleicht 400% Gewinn machen, aber wenn man für eine Wahrscheinlichkeit etwas größer 100% herausbekommt hat man garantiert einen Fehler gemacht. 100%ig sozusagen

[RCEC]

Ich danke euch allen,vor allem Stranger

WOW

Interessant für mich ist jedenfalls ,daß ich zum Teil richtig gedcht hatte.

Ihr müßt ja wissen für mich als RC-EC ist alles was > 50% quausi als sicher(zumindest für meine Ideen)

Danke für die aufklärung des Irtums und der genauen Berechnung

Hier nun die Auflösung

Stranger hatte ja richtig gemeint am besten nimm mal die Gegenwahrscheinlichkeit

Also:

Wenn man alle NICHT-Geborenen hernimmt so habe alle diese am selben Tag NICHT - Geburtstag , ergo je jünger um so wahrscheinlicher ist richtig

Im Ernst:

Es geht so:

Je mehr Kombination möglich sind umso mehr ist es natürlich unwahrscheinlicher

Kurz:

Wenn sich zb 2 treffen die voriges Jahr am 9.02.05 Geboren wurden ,hätten beide heute geburtstag und es wären 365 Tage vergangen

die wurzel aus 365 = 19,10

das wird aufgerundet also 20

20*20 = 400 und somit ist es zu > 50% sicher das jene im selben jahr geburtstag haben

hingegen treffen sich heute 2 leute die vor 60 jahren am 09.02.45 geburtstag hatten müßte man das logischerweise mit den jahren inkl der schaltjahre multiplizieren

im Prinzip also richtig ist folgendes

Wurzel aus (Anzahl der Tage von Geburt an bis Tag des aktuellen Tages)

Diesen Wert rundet man auf den nächsten gültigen ganzzahligen wert auf

in unserem beispiel hier

60 Jahre *365,25 = 21951 ^0,5 = ~149

Also je jünger um so wahrscheinlicher ist richtig

1 zu 20 für jünger

1 zu 149 für älter

wenn man nun die vornamen hinzufügen will wird es kompliziert

den hier gibt es eine statistische ungleichverteilung

aber das ist wieder eine anderer geschichte

wichtiger ist die Mächtigkeit der binomialverteilung,und wie man diese für das Roulette verwenden kann

RCEC

[jason]

@ RCEC

Bei einer Veranstaltung, bei der nur Zwillinge geladen sind, ist die Möglichkeit, daß

2 nicht vom gleichen Erzeuger sind wie hoch ?

[roland_sandberg]

Der Beitrag vom fahrradfahrendenvolvofahrer klang doch s e h r plausibel.

roland_sandberg